Wahrscheinlichkeitstheorie, SS2016, Vorlesung Karlsruher Institut für Technologie (KIT)

20 |
0:00:00 Starten
0:00:10 Englische Zusammenfassung von Resultaten aus Lektion 19
0:08:08 Symmetrische Irrfahrt auf den ganzen Zahlen: Stoppen in der Höhe 1
0:20:31 Hauptlemma für symmetrische Irrfahrten auf den ganzen Zahlen
0:40:42 Die Waldsche Gleichung

19 |
0:00:00 Starten
0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Resultaten aus Lektion 18
0:09:15 L2-Martingale haben orthogonale Zuwächse
0:12:25 Martingale und konvexe Funktionen liefern Submartingale
0:14:18 Spielsysteme
0:19:49 Martingaltransformation
0:21:24 Satz über die Martingaltransformation
0:28:11 Bemerkungen zut Martingaltransformation
0:30:21 Gestoppte Martingale bleiben Martingale
0:37:55 Satz (Optionales Stoppen, Doob)
0:56:11 Das Spieler-Ruin-Problem

18 |
0:00:00 Starten
0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Begriffe und Resultate von Lektion 17
0:04:14 Diskussion (Filtration, Adaptiertheit, Stoppzeit)
0:10:19 Charakterisierung einer Stoppzeit
0:13:35 Summen, Maxima und Minima von Stoppzeiten sind Stoppzeiten
0:15:09 Beispiele für Stoppzeiten (Ersteintrittszeiten, konstante Stoppzeit)
0:21:24 Sigma-Algebra der tau-Vergangenheit
0:24:57 Satz (Messbarkeit einer gestoppten Zufallsvariablen)
0:30:10 Beispiel (Stoppen in einem Urnenmodell)
0:40:59 Submartingal, Supermartingal, Martingal
0:45:35 Interpretation (Submartingal, Supermartingal, Martingal)
0:49:00 Monotonie bzw, Konstanz der Folge (E(X_n)) bei Sub- bzw. Supermartingal und Martingal
0:51:43 Test eines Sub- bzw. Supermartingals auf ein Martingal
0:55:25 Beispiel: Partialsummen unabhängiger Zufallsvariablen
0:59:43 Beispiel: (Partial-)Produkte unabhängiger Zufallsvariablen
1:03:30 Das Doobsche Martingal
1:07:26 Prävisible (vorhersagbare) Folge
1:09:49 Beispiel
1:11:27 Ein vorhersagbares Martingal ist mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant
1:13:35 Die Doob-Zerlegung

17 |
0:00:00 Starten
0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Resultate aus Lektion 16
0:07:08 Beispiel (Anwendung verschiedener Rechenregeln)
0:14:40 Faktorisierungslemma
0:25:32 Bedingte Erwartung E[X|Z], Faktorisierung von E[X|Z]
0:34:06 Bedingter Erwartungswert E[X|Z=z]
0:40:04 Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|Z), P(A|Z=z)
1:00:42 Bedingter Erwartungswert als Erwartungswert der bedingten Verteilung
1:08:03 Spezialfall einer gemeinsamen Verteilung mit einer Dichte
1:12:00 Berechnung von Ef(Z,X)
1:17:20 Stoppzeiten und Martingale (allgemeine Betrachtungen)
1:20:24 Filtration, Stoppzeit, Adaptiertheit

16 |
0:00:00 Starten
0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 15: Bedingte Erwartung
0:06:14 Bedingte Erwartung als Orthogonalprojektion
0:25:31 Eigenschaften I (Linearität, Monotonie, iterierter E-Wert)
0:26:30 Nachweis der Existenz der bedingten Erwartung durch L2-Approximation
0:44:21 Eigenschaften II (Herausziehen G-mb. Faktoren, Turmeigenschaft, Dreiecksungleichung, Streichen einer unabhängigen Sigma-Algebra
1:00:05 Bedingte Versionen der Konvergenzsätze
1:04:52 Jensen-Ungleichung für bedingte Erwartungen
1:15:29 Eine von X und G unabhängige Sigma-Algebra ist irrelevant

15 |
0:00:00 Starten
0:00:10 Englische Zusammenfassung von Resultaten aus Lektion 14
0:04:24 Bedingte Verteilung bei gemeinsamer Dichte
0:18:11 Bedingte Verteilung bei gemeinsamer Dichte
0:20:23 Interpretation der bedingten Dichte
0:25:36 Bedingte Verteilung von X unter der Bedingung |X| =t
0:33:25 Bedingte Verteilung bei bivariater Normalverteilung
0:37:37 Bedingte Erwartungswerte und bedingte Erwartungen (Einführung)
0:53:03 Bedingte Erwartung bzgl. einer von einer Zerlegung erzeugten Sigma-Algebra
1:04:30 Konkretes Beispiel
1:08:50 Bedingte Erwartung (allgemeine Definition)
1:10:27 Existenz und (P-fast sichere) Eindeutigkeit der bedingten Erwartung
1:21:23 Bedingte Erwartung als Menge von Zufallsvariablen, Version der bedingten Erwartung