Einführung in die Stochastik, WS15/16, Vorlesung Karlsruher Institut für Technologie (KIT)

22: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 21
0:05:59 Lognormalverteilung
0:11:42 Quantiltransformation (""Inversionsmethode"")
0:14:58 Beispiel (Exponentialverteilung)
0:16:16 Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation
0:21:06 Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix
0:27:23 Positive Definitheit und Semidefinitheit von Kovarianzmatrizen
0:31:41 Beispiel (Multinomialverteilung)
0:34:50 k-dimensionale Standard-Normalverteilung
0:40:19 Affine Transformation der k-dimensionalen Standard-Normalverteilung
0:46:38 Nichtausgeartete k-dimensionale Normalverteilung
0:48:16 Existenzsatz (nichtausgeartete k-dimensionale Normalverteilung)
0:50:28 Diskussion der Dichte
0:52:18 Erwartungsvektor und Kovarianzmatrix (nichtausg. k-dim. Normalverteilung)
0:59:16 Unabhängigkeit und Unkorreliertheit (nichtausg. k-dim. Normalverteilung)
1:03:22 Haupkomponentendarstellung
1:11:38 Der Spezialfall k=2

21: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 20
0:07:00 Verteilung der Summe zweier Zufallsvariablen
0:11:31 Faltungsformel für Dichten
0:13:35 Faltung zweier Gleichverteilungen
0:17:15 Additionsgesetz für die Normalverteilung
0:20:48 Dichte von Differenz, Produkt und Quotient unabhängiger Zufallsvariablen
0:23:52 Erwartungswert einer Funktion eines Zufallsvektors
0:26:43 Momente, Kovarianz, Korrelation
0:31:16 Multiplikationsformel für den Erwartungswert
0:34:53 Momente der Normalverteilung
0:42:02 Gamma-Verteilung
0:45:09 Momente der und Additionsgesetz für die Gamma-Verteilung
0:51:54 Beta-Funktion
0:53:11 Beta-Verteilung
0:55:38 Momente der Beta-Verteilung
0:56:21 Erzeugung der Beta-Verteilung aus der Gamma-Verteilung
0:58:15 Chi-Quadrat-Verteilung
0:59:48 Erwartungswert und Varianz der Chi-Quadrat-Verteliung
1:01:37 Additionsgesetz für die Chi-Quadrat-Verteilung
1:03:49 Dichte der Chi-Qudarat-Verteilung
1:07:51 Quantile, Quantilfunktion
1:13:58 Symmetrische Verteilung
1:15:51 Erwartungswert = Median bei symmetrischen Verteilungen
1:20:34 Cauchy-Verteilung

20: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 19
0:07:04 Veranschaulichung von Verteilungsfunktion und Dichte
0:10:32 Allgemeine Bemerkungen zu Verteilungsfunktionen
0:15:18 Definition einer singulären Verteilungsfunktion
0:17:33 Cantorsche Verteilungsfunktion
0:22:00 Struktur der Menge aller Verteilungsfunktionen
0:28:57 Gleichverteilung auf einem Intervall
0:33:45 Exponentialverteilung
0:40:17 Normalverteilung
0:50:39 Marginalverteilungsbildung bei Dichten
0:57:12 Unabhängigkeit und Dichten
1:02:26 Beispiel (Gleichverteilung auf der Vereinigung zweier Quadrate)
1:05:09 Grundtechniken im Umgang mit Transformationen von Verteilungen
1:07:15 ""Methode Verteilungsfunktion""
1:11:20 Transformationssatz für Lebesgue-Dichten
1:16:08 Box-Muller-Methode
1:23:42 Methode ""Ergänzen, Trafosatz und Marginalverteilungsbildung""

19: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 18
0:07:02 Definition (fast überall, P-fast sicher)
0:09:49 Nullmengenunempfindlichkeit des Integrals
0:10:34 Markov-Ungleichung
0:20:03 Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi)
0:21:50 Integrale über Teilmengen
0:23:05 Maße mit Dichten
0:29:09 Spezialfall 1: absolut stetige Verteilung
0:35:02 Gleichverteilung auf einer beschränkten Menge
0:38:33 Spezialfall 2: diskrete Verteilung
0:43:57 Integration bezüglich eines Maßes mit einer Dichte
0:49:10 Berechnung von Erwartungswerten (absolut stetiger und diskreter Fall)
0:52:36 Produkt-Maße
0:56:13 Satz von Tonelli
0:59:23 Satz von Fubini
1:01:45 Stochastische Unabhängigkeit und Produktmaße
1:06:39 Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen
1:13:25 Weitere Eigenschaften einer Verteilungsfunktion
1:15:10 Existenz- und Eindeutigkeitssatz
1:18:38 Diskrete Verteilungsfunktion
1:20:37 Absolut stetige Verteilungsfunktion

18: Vorlesung |
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0:00:10 Maßdefinierende Funktion, Verteilungsfunktion
0:01:12 Maßdefinierende Funktionen erzeugen Maße
0:13:21 Messbarkeit
0:14:37 Bildmaß
0:15:52 Bewegungsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes
0:17:13 Sigma-Algebren und Abbildungen
0:19:46 Numerische Funktionen, Borel-Messbarkeit
0:22:15 Zufallsvariable, Verteilung (allgemeine Definition)
0:25:21 Aufbau des Maß-Integrals I (Elementarfunktionen)
0:30:04 Aufbau des Maß-Integrals II (nichtnegative messbare Funktionen)
0:33:47 Aufbau des Maß-Integrals III (beliebige messbare Funktionen)
0:36:23 Eigenschaften des Integrals
0:38:16 Erwartungswert (allgemeine Defenition)
0:39:27 Eigenschaften der Erwartungswertbildung
0:40:26 Beweisprinzip der algebraischen Induktion
0:42:05 Beispiel (Integral bezüglich eines Dirac-Maßes)
0:46:04 46:04 Beispiel (Integration bezüglich einer Summe von Maßen)
0:50:59 Integration bezüglich eines Bildmaßes
0:54:56 Folgerung (Erwartungswert als Integral bezüglich der Verteilung)
0:58:21 Erwartungswert für diskrete Verteilungen und Verteilungen mit Lebesgue-Dichten

17: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung der letzten Lektion
0:05:21 Planung des Stichprobenumfangs
0:13:45 Zweiseitiger Binomialtest
0:23:05 Allgemeine Modelle, maßtheoretische Grundlagen (Einführung)
0:25:16 Sigma-Algebra
0:27:00 Axiomensystem von Kolmogorov
0:30:37 Erzeugte Sigma-Algebra, Erzeugendensystem
0:33:31 Arbeitstechniken für Erzeuger
0:35:55 Borelsche Sigma-Algebra
0:41:25 Erzeuger der Borelmengen
0:45:01 Maßraum
0:50:12 Dirac-Maß, diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß
0:52:59 Zähl-Maß
0:54:15 Borel-Lebesgue-Maß
0:55:40 Dynkin-System
0:59:08 Erzeugtes Dynkin-System
1:00:09 Erzeugte Sigma-Algebra und erzeugtes Dynkin-System identisch bei schnittstabilem Mengensystem
1:07:30 Eindeutigkeitssatz für Maße
1:12:58 Halbring
1:16:02 Inhalte und Prämaße auf Halbringen
1:18:24 Eigenschaften von Inhalten
1:21:05 Maß-Fortsetzungssatz
1:22:54 Maßdefinierende Funktion, Verteilungsfunktion