»Streuspanne-Lexikon« – B wie Binomialverteilung Streuspanne – Statistik und ihre Kuriositäten

Im heutigen »Streuspanne-Lexikon«-Eintrag
geht es darum, wofür man die Binomialverteilung braucht und was das überhaupt
ist. Wie gewohnt: kurz und knapp verständlich erklärt – in unter fünf Minuten. 

»Eine Figur in jedem siebten Ei!« – Im Beispiel des Lexikonbeitrags interessiert sich das »Streuspanne«-Team dafür, wie oft eine Happy-Hippo-Figur in einem Überraschungsei zu finden ist, wenn jemand einen
Monat lang jeden Tag ein Ei kaufen würde. Hier wäre die individuelle Erfolgswahrscheinlichkeit »p« genau ein Siebtel, die Anzahl der Wiederholungen »N« wäre 30 Tage und »k« ist das zufällige Ergebnis, nämlich die Anzahl der Erfolge.


Wie oft man nun welchen Wert von k erwarten darf, das regelt die Binomialverteilung.

 

Neben Überraschungseiern kann man damit auch
andere Wahrscheinlichkeiten (zum Beispiel für einen Münz- oder Würfelwurf) berechnen und Voraussagen über komplexe Vorgänge wie dem Verbreiten von Krankheiten treffen.

 

Die Formel für die Binomialverteilung lautet

(N über k) mal p^k mal (1-p)^(N-k).

Auf den ersten Blick sieht das kompliziert aus, aber mit ein bisschen Lesehilfe verliert die Formel ihren Schrecken.

p^k ist einfach zu verstehen: Wenn ich k Erfolge in N Wiederholungen haben möchte, dann muss k-Mal der Erfolg eintreten, was mit der Wahrscheinlichkeit p passiert. Also schlicht die Wahrscheinlichkeit p, k-mal mit sich selbst multipliziert.

 

Analog lässt sich gut nachvollziehen, wieso (1-p)^(N-k) in der Formel steht. Denn ich muss bei k Erfolgen dann mit genau N-k Misserfolgen rechnen, und jeder einzelne Misserfolg passiert mit Wahrscheinlichkeit 1-p.

 

Der letzte Bestandteil (N über k) ist etwas
abstrakter. Das ist der sogenannte Binomialkoeffizient. Was das mathematisch heißt, wäre zu ausufernd für einen Lexikon-Eintrag, aber es zählt einfach, auf wie viele Möglichkeiten sich k Erfolge in N Versuchen unterbringen lassen.


Schwere Worte, aber mit einfacher Bedeutung.

 

Aber wie sieht diese Binomialverteilung
aus?

Wenn N immer größer wird, nähert sich die
Binomialverteilung immer weiter einer Normalverteilung an. Die Anzahl der Treffer verteilen sich links und rechts symmetrisch zum Erwartungswert, bei p=1/2 also genau der Mitte. Genau an diesem Erwartungswert ist die Anzahl der Treffer am größten, in beide Richtungen wird sie immer kleiner. 

 

Ganz in Kürze: Die Binomialverteilung zählt die Anzahl an Erfolgen in einer festgelegten Anzahl von Wiederholungen. Was das für die Überraschungseier und die Figuren heißt, hört Ihr im »Streuspanne-Lexikon«.

 

Ihr habt eine seltsame Statistik in den Medien entdeckt und wollt, dass wir sie im Podcast zum Thema machen? Oder Euch ist ein mathematisches Zahlen- oder
Gedankenspiel aufgefallen? Dann meldet Euch gerne über presse@itwm.fraunhofer.de bei uns. Auch Vorschläge für
weitere Lexikon-Einträge sind willkommen.

 

Ihr seid gerade aus einer anderen langen, regulären Streuspanne-Folge hierher gesprungen? Dann schnell wieder zurück zur langen Folge!