Sternengeschichten Folge 617: Metriken der Raumzeit

Welche Form hat das Universum?

Sternengeschichten Folge 617: Metriken der Raumzeit

In dieser Folge der Sternengeschichten wird es ein wenig mathematisch. Ich werde vielleicht Begriffe verwenden wie "Differentialgeometrie", "Metrischer Tensor" oder "Minkowski-Raum". Oder nicht, mal schauen. Aber keine Sorge: Ich werde mein Bestes geben, damit am Ende alle verstehen worum es geht und es lohnt sich, zu verstehen, worum es geht, denn es geht um nichts weniger als die Form des Universums.

Aber dafür müssen wir trotzdem mit der Metrik anfangen. Dieses Wort kann verschiedene Bedeutungen haben; in der Literatur beschreibt es das Versmaß von Gedichten, in der Musik die Art und Weise wie Noten betont werden und das ist zwar alles sehr spannend - wir bleiben aber trotzdem bei der mathematischen Bedeutung. Und da ist eine Metrik eine Funktion, die zwei Punkten im Raum eine Zahl zuordnet, die man als Abstand dieser beiden Punkte definieren kann.

Warum so kompliziert, mag sich jetzt der eine oder die andere denken. Wenn ich den Abstand zwischen zwei Punkten messen will, dann mess ich den halt einfach! Warum braucht es da eine Funktion, die eine Zahl "zuordnet", die als Abstand "definiert" werden kann? Weil es halt erstens nicht so einfach ist und wir zweitens genau sein wollen, immerhin geht es um das Universum.

Ja, ich kann ein Blatt Papier nehmen, zwei Punkte draufmalen und dann mit einem Lineal den Abstand messen. Aber wenn ich das tue, dann wende ich - aus mathematischer Sicht - die sogenannte "euklidische Metrik" an, benannt nach dem griechischen Gelehrten Euklid, der vor langer Zeit die Grundlagen der Geometrie erforscht hat. Wenn wir mit dem Lineal den Abstand zwischen den Punkten messen, dann messen wir ja eigentlich die Länge einer Linie, die die beiden Punkte verbindet. Ich kann jetzt aber sehr einfach mit dieser Linie ein rechtwinkeliges Dreieck konstruieren. Das erklärt sich in einem Podcast viel schwieriger als es in der Praxis ist. Aber wenn ich ausgehend von dem einem Punkt eine Linie ziehe, die parallel zur einen Seite des Blattes verläuft und ausgehend vom anderen Punkt eine Parallele zur anderen Blattseite, dann schneiden die sich in einem rechten Winkel. Und mit der Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten kriege ich ein rechtwinkeliges Dreieck. Und was gilt bei einem rechtwinkeligen Dreieck? Genau, der Satz von Pythagoras, den wir alle aus der Schule kennen. a²+b²=c². Oder anders gesagt: Ich kann die Länge der Verbindungslinie berechnen, wenn ich die Länge der beiden anderen Seiten kenne und die kenne ich, weil ich ja weiß, wo die Punkte sind. Oder nochmal anders und mathematisch genauer gesagt: Aus den zweidimensionalen Koordinaten meiner beiden Punkte kann ich - mit dem Satz von Pythagoras - sehr leicht eine Funktion definieren, die mir als Ergebnis den direkten Abstand der Punkte liefert. Wer es genau wissen will: Wenn die Koordinaten der beiden Punkte x1/y1 und x2/y2 sind, dann beträgt der Abstand zwischen ihnen genau (x2-x1)² + (y2-y1)² und daraus noch die Wurzel.

Ich weiß, das waren jetzt schon viele Zahlen und Formeln. Aber wenn man ein bisschen drüber nachdenkt, war es auch nicht schlimm. Und notwendig, weil wir dieses Konzept der Metrik wirklich brauchen, wenn wir die Form des Universums verstehen wollen. Beziehungsweise nicht dieses spezielle Konzept der euklidischen Metrik, aber die allgemeine Idee. Denn es gibt jede Menge Metriken! Das mag überraschend klingen - wieso braucht man mehr als eine Art, einen Abstand zu definieren? Entweder zwei Punkte sind 10 Meter voneinander entfernt oder nicht? Aber wie gesagt: So einfach ist es nicht. Stellt euch mal vor, ihr seid in New York, in Manhattan, wo die Straßen ein Gitter bilden. Wenn ich jetzt wissen will, wie weit es von einer Ecke in Manhattan zu einer anderen ist, dann hilft mir die euklidische Metrik wenig. Die gibt mir ja den direkten Abstand, also quasi die Luftlinie. Und wen