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Géométrie spectrale - Nalini Anantharaman Collège de France
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5,0 • 3 notes
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La géométrie spectrale est le domaine des mathématiques qui vise à faire le lien entre la géométrie d'un objet et son spectre de vibration. Le domaine a connu une première naissance dans les années 1910, quand les précurseurs de la mécanique quantique ont cherché à calculer le spectre des atomes à partir de considérations géométriques sur le modèle planétaire. La question s'est ensuite muée en l'étude du spectre d'opérateurs de Schrödinger, en lien avec la géométrie symplectique dans l'espace des phases de la mécanique classique.
La seconde naissance du domaine remonte aux années 1960 avec le théorème de l'indice, qui donne des relations entre certains « indices topologiques » (par exemple la caractéristique d'Euler d'un espace topologique) et le bas du spectre d'un opérateur elliptique (comme l'opérateur de Laplace). Ce domaine connaît actuellement une activité intense du côté de la physique, avec la découverte du rôle de la notion d'« indice » dans la description des matériaux topologiques.
Parmi les grandes questions de la géométrie spectrale, citons :
Le chaos quantique : c'est l'étude du spectre d'un opérateur de Schrödinger, quand le système hamiltonien qui lui correspond en mécanique classique est chaotique ;
Les problèmes inverses : que peut-on deviner de la géométrie d'un objet à partir de la mesure de son spectre de vibration ?
Le lien entre spectre et topologie, via divers avatars du théorème de l'indice ;
Le spectre de systèmes désordonnés ou d'objets géométriques aléatoires ;
Le lien entre géométrie et contrôle des ondes : quels sont les meilleurs endroits où se placer pour « diriger » une onde ?
Le cours sera tourné vers les aspects mathématiques de ces questions, mais certaines années le séminaire sera l'occasion d'entendre des physiciens présenter leurs travaux en lien avec le cours.
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Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Du flot géodésique à l'équation des ondes sur une variété Anosov
Nalini Anantharaman
Géométrie spectrale
Collège de France
Année 2023-2024
Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds
Frédéric Faure
Université Grenoble Alpes
Résumé
La correspondance semi-classique habituelle (appelée quantique-classique) montre que l'évolution à temps fixé de paquets d'ondes par une équation des ondes fait apparaitre le flot géodésique dans la limite des petites longueur d'onde λ → 0. Ce flot géodésique est déterminé par le symbole principal de l'opérateur d'onde. Ainsi des opérateurs différents de spectres différents peuvent avoir la même limite classique. La formule des traces de Duistermaat-Guillemin montre que le spectre de l'opérateur détermine l'ensemble des longueurs des géodésiques périodiques mais pas l'inverse.
Nous souhaitons montrer le sens inverse : le flot géodésique lorsqu'il est Anosov, détermine une unique équation des ondes générée par un opérateur équivalent à √∆ à l'ordre principal et dont le spectre est caractérisé par les géodésiques périodiques, via une fonction zéta.
Cette équation des ondes apparait dynamiquement de la façon suivante. Dans le cas simple d'une surface hyperbolique N (i.e. lisse, compacte de courbure −1), la moyenne sphérique au temps t ∈ R d'une fonction u0 : N → C est la fonction ut où en chaque point x ∈ N , la valeur ut (x) est la moyenne de u0 sur le cercle géodésique de centre x et de rayon |t|. Pour t → ∞, chaque cercle devient dense et ut converge exponentiellement vite vers la moyenne spatiale ⟨u0⟩ de u0. On s'intéresse aux fluctuations autour de cette moyenne en posant vt = e|t|/2 (ut − ⟨u0⟩). La surprise est que ces fluctuations sont solution de l'équation des ondes sur N. On montrera qu'un tel phénomène est plus général à toute variété Riemannienne Anosov donnant une équation des ondes émergente, générée par un opérateur qui est une sorte de "quantification dynamique" du flot classique.
On présentera les idées et ingrédients qui permettent d'obtenir ces résultats et qui sont de l'analyse microlocale, des espaces de Sobolev anisotropes, des spectres de Ruelle et des spineurs symplectiques.
Travail en collaboration avec Masato Tsujii, arxiv 2102.11196. -
08 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (II)
Nalini Anantharaman
Géométrie spectrale
Collège de France
Année 2023-2024
08 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (II)
Dans ces deux derniers cours, nous nous intéressons à des modèles de graphes (q+1)-réguliers aléatoires à N sommets. Nous étudions le trou spectral de la matrice d'adjacence, dans la limite où N tend vers l'infini. Nous exposons un résultat dû à Joel Friedman, et plusieurs étapes de sa démonstration : avec une probabilité qui tend vers 1, le trou spectral est quasi-optimal, c'est-à-dire supérieur à (q+1)-2q^{1/2}-\epsilon. -
Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds
Nalini Anantharaman
Géométrie spectrale
Collège de France
Année 2023-2024
Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds
Silvia Pappalardi
Université de Cologne
Résumé
In the past few years, there has been considerable activity around a set of quantum bounds on transport coefficients (viscosity, conductivity) and chaos (Lyapunov exponents), relevant at low temperatures. The interest comes from the fact that black-hole models seem to saturate all of them. However, the relation between the different bounds and physical properties of the systems saturating the is still a matter of ongoing research.
In this talk, I will discuss how one can gain physical intuition by studying classical and quantum free dynamics on curved manifolds. Thanks to the curvature, such models display chaotic dynamics up to low temperatures, and – as I will show how – they violate the bounds in the classical limit.
The talk aims to discuss three different ways in which quantum effects arise to enforce the bounds in practice. For instance, I will show how chaotic behavior is limited by the quantum effects of the curvature itself. As an illustrative example, I will consider the simple case of a free particle on a two-dimensional manifold, constructed by joining the surface of constant negative curvature – a paradigmatic model of quantum chaos – to a cylinder. The resulting phenomenology can be generalized to the case of several (constant) curvatures. The presence of a hierarchy of length scales enforces the bound to chaos up to zero temperature. -
07 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (I)
Nalini Anantharaman
Géométrie spectrale
Collège de France
Année 2023-2024
07 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (I)
Dans ces deux derniers cours, nous nous intéressons à des modèles de graphes (q+1)-réguliers aléatoires à N sommets. Nous étudions le trou spectral de la matrice d'adjacence, dans la limite où N tend vers l'infini. Nous exposons un résultat dû à Joel Friedman, et plusieurs étapes de sa démonstration : avec une probabilité qui tend vers 1, le trou spectral est quasi-optimal, c'est-à-dire supérieur à (q+1)-2q^{1/2}-\epsilon. -
Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Résonances de Ruelle pour le flot géodésique sur des variétés non compactes
Nalini Anantharaman
Géométrie spectrale
Collège de France
Année 2023-2024
Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Résonances de Ruelle pour le flot géodésique sur des variétés non compactes
Sébastien Gouëzel, Université Rennes 1
Résumé
Les résonances de Ruelle sont des caractéristiques d'un système dynamique qui décrivent les asymptotiques fines des corrélations en temps grand. Il est maintenant bien connu que cette notion est bien définie pour les systèmes uniformément hyperboliques lisses sur les variétés compactes. Dans cet exposé, je m'intéresserai au cas du flot géodésique sur des variétés non compactes. Dans une certaine classe de variétés (appelées SPR), j'expliquerai qu'on peut définir des résonances de Ruelle dans un demi-plan, dont l'abscisse est donnée par un exposant critique à l'infini.
Travail avec Barbara Schapira et Samuel Tapie. -
06 - Spectres de graphes et de surfaces : Valeur en 0 des séries de Poincaré des surfaces et des graphes
Nalini Anantharaman
Géométrie spectrale
Collège de France
Année 2023-2024
06 - Spectres de graphes et de surfaces : Valeur en 0 des séries de Poincaré des surfaces et des graphes
Récemment, Dang et Rivière ont démontré une identité remarquable, qui exprime la valeur en 0 des séries de Poincaré de n'importe quelle surface de courbure négative en fonction de la caractéristique d'Euler. Ainsi, une série de Dirichlet définie à partir des longueurs des géodésiques, possède une valeur en 0 qui dépend uniquement de la topologie de la surface. Dans ce cours, nous démontrons un théorème analogue pour les graphes. Nous reprenons la méthode de Dang et Rivière, mais le fait de travailler sur un espace discret demande de modifier significativement certaines étapes.